Инструкция по изучению суммы длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда

Понятие прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед представляет собой многогранник, построенный из шести граней, каждая из которых прямоугольник. Противолежащие грани параллелепипеда равны. У прямоугольного параллелепипеда 12 ребер и 8 вершин. Три ребра, выходящие из одной вершины, называют измерениями параллелепипеда или его длиной, высотой и шириной. Таким образом, у прямоугольного параллелепипеда есть четверки равных по длине ребер: 4 высоты, 4 ширины и 4 длины.

Форму прямоугольного параллелепипеда имеют, например:

• кирпич;
• домино;
• коробок спичек;
• аквариум;
• пачка сигарет;
• дипломат;
• ящик.

Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб. Куб — это геометрическое тело в форме прямоугольного параллелепипеда, но при этом все его грани имеют форму квадрата, поэтому все его ребра равны. У куба 6 граней (равных друг другу по площади), 12 ребер (равных друг другу по длине) и 8 вершин.

Вычисление суммы длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда

Обозначим измерения параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота.

Дано: a = 13 см, b = 16 см, c = 21 см.

Найти: сумму длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Решение:

Так как прямоугольный параллелепипед имеет 4 высоты, 4 ширины и 4 длины (равных между собой), то:

1) 4 * 13 = 52 (см) — сумма длин параллелепипеда;

2) 4 * 16 = 64 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;

3) 4 * 21 = 84 (см) — сумма высот параллелепипеда;

4) 52 + 64 + 84 = 200 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Таким образом, для нахождения суммы длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда можно вывести формулу: Z = 4a + 4b + 4c (где Z — сумма длин ребер).

Ответ: 200 см.

Цели и задачи урока:

1. Научить учащихся отличать те из окружающих нас
   тел, форма которых имеет название
   “прямоугольный параллелепипед”, научить
   произносить и писать этот термин и познакомить с
   моделями прямоугольного параллелепипеда.
2. Ввести определение понятия “прямоугольный
   параллелепипед”. При этом желательно избежать
   заучивания формулировки определения, ученики
   должны её запомнить в процессе выполнения
   заданий. Одновременно они должны усвоить способ
   установления принадлежности к понятию
   “прямоугольный параллелепипед” с помощью
   определения.
3. Познакомить учащихся с элементами
   прямоугольного параллелепипеда: гранями,
   ребрами, вершинами (запоминать определения не
   требуется, достаточно, чтобы ученики умели
   показывать грани, ребра и вершины различных тел,
   умели рассказать своими словами, что ребра
   прямоугольного параллелепипеда — это стороны
   прямоугольников, вершины — концы отрезков,
   являющихся ребрами).
4. Сформулировать понятие “смежные грани” и
   “противоположные грани” (учащиеся должны уметь
   указать на наличие общего ребра при обосновании
   того, что грани смежные, и на отсутствие общих
   ребер при доказательстве того, что грани
   противоположные, заучивать формулировки не
   надо).
5. Познакомить учащихся с понятиями “измерения
   прямоугольного параллелепипеда”, “высота
   прямоугольного параллелепипеда” (каждый ученик
   должен уметь показать измерения
   параллелепипеда, понимать, что высотой может
   служить любое измерение).
6. Научить достраивать изображения
   прямоугольного параллелепипеда и строить
   изображение самостоятельно.
7. Дать представление о развертке прямоугольного
   параллелепипеда.

План урока

1. Организационный момент.
2. Постановка целей и задач урока.
3. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
   a. Устный счет — математическое лото.
   b. Логическое упражнение.
   c. Блиц-опрос.
4. Изучение нового материала.
5. Практическая работа.
6. Самостоятельная работа.
7. Итог урока.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Добрый день, дорогие путешественники в страну
знаний!

Чтобы начать сегодняшний урок, мне хотелось бы
узнать, готовы ли вы к уроку, какое у вас
настроение, есть ли у вас желание узнать что-то
новое на сегодняшнем уроке?

Как сказал древнегреческий философ Саади:
“Ученик, который учится без желания — это птица
без крыльев”.

И мне бы хотелось, чтобы было у вас желание
учиться, узнавать что-то новое, неопознанное не
только на сегодняшнем уроке, а всегда и только в
этом случае своими “крыльями” будете
“взлетать” все выше и выше.

А также мне очень хочется обратиться к словам
известного российского математика А.И.
Мордковича: “Кто с детских лет занимается
математикой, этот развивает внимание, тренирует
свой мозг, свою волю, воспитывает в себе
настойчивость и упорство в достижении цели”.

Именно это нам потребуется на сегодняшнем
уроке: внимание, настойчивость и упорство, чтобы
достичь поставленных целей.

II. Постановка целей и задач урока

III. Актуализация опорных знаний и умений
учащихся

a. Устный счет — математическое лото

Ребята, для того, чтобы приступить к
рассмотрению нашего вопроса мы должны вспомнить
материал, который нам поможет в процессе
изучения новой темы. Для этого давайте решим
примеры цепочкой.

(На доске вывешивается таблица с примерами для
устного счета, у учащихся карточки с
соответствующими ответами. В процессе
правильного решения примеров на таблице
формируется рисунок, — теневой фон
Ново-Иерусалимского монастыря, — состящий из
геометрических фигур.)

52 : 2	+ 24	: 25
х 36	: 18	х12
+34	: 12	+ 56
-38	: 2	х100

Ребята, внимательно посмотрите на полученный
рисунок.

Что он вам напоминает?

Ново-Иерусалимский монастырь, который основан
Патриархом Никоном в 1653 году при царе Алексее
Михайловиче Романове. Монастырь строился 8 лет по
макету, привезенному из города Иерусалима
Израиля.

Правильно, а посмотрите внимательно, само
здание церкви на рисунке из чего складывалось у
нас?

Назовите именно из каких геометрических фигур?

Многие здания на рисунках напоминают нам
какие-то геометрические фигуры.

А что же представляют они собой в
действительности?

(Двум ученикам предлагается собрать модель
монастыря из предложенных геометрических тел, в
это же время с остальными учащимися продолжается
работа).

b. Логическое упражнение

Назовите лишнее слово: треугольник, квадрат,
площадь, круг, прямоугольник.

c. Блиц-опрос

1. Прямоугольник — это …
2. а и в — …
3. а — это …
4. в — это …
5. Площадь прямоугольника равна …
6. Выражение Р = 2х(а+в) называется …
7. Прямоугольник, у которого длина и ширина равны,
   называется …
8. У равных фигур площади и периметры …
9. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры
   равна …

Обратите внимание на модель монастыря.

В основном отдельные части здания монастыря
напоминают нам коробку. (Продемонстрировать).

IY. Изучение нового материала

В действительности мы часто встречаем
предметы, имеющие похожую форму. Они могут быть
сделаны из разного материала и окрашены в разные
цвета, но по форме они напоминают друг друга.
Например: чемодан, шкаф, телевизор и т.д.

Эти предметы имеют похожую форму. Правда они
отличаются мелкими деталями: у чемодана есть
ручка, у шкафа — двери, но если не обращать
внимание на эти мелкие детали, то можно сказать,
что все эти предметы имеют примерно одинаковую
форму. Все они напоминают по форме изображенный
на рисунке предмет, не имеющий никаких
второстепенных деталей. Изображенное тело
называется прямоугольный параллелепипед. (Данное
словосочетание — “прямоугольный
параллелепипед” — написано на доске и его дети
читают хором).

Приведите примеры предметов, которые имеют
форму прямоугольного параллелепипеда.

А сейчас давайте познакомимся с его элементами.

Обращенная к нам сторона этого тела имеет форму
прямоугольника.

Если внимательно посмотреть на это тело, то мы
заметим, что вся поверхность прямоугольного
параллелепипеда состоит из прямоугольников,
которые называются его гранями.

Ответьте, сколько граней имеет прямоугольный
параллелепипед?

Стоит запомнить какая грань как называется: та
грань, которая обращена к нам называется
передней, точно такая же грань имеется сзади — это
задняя грань, боковые грани — левая и правая. Та
грань, которая сверху, называется верхняя, а
грань, на которой фигура стоит, называется нижней
или основанием.

Стороны прямоугольников, которые являются
гранями прямоугольного параллелепипеда,
называются ребрами этого прямоугольного
параллелепипеда.

Выясните самостоятельно, сколько ребер имеет
прямоугольный параллелепипед.

Вершины граней являются вершинами
параллелепипеда.

Самостоятельно посчитайте, сколько имеет
вершин прямоугольный параллелепипед.

Две грани прямоугольного параллелепипеда, не
имеющие общих ребер, называются
противоположными. Противоположные грани всегда
равны.

Две грани прямоугольного параллелепипеда,
имеющие общее ребро, называются смежными
гранями.

Из каждой вершины прямоугольного
параллелепипеда выходят три ребра. Длины этих
ребер — длина, ширина и высота прямоугольного
параллелепипеда, или его измерения.

Прямоугольный параллелепипед, все ребра
которого равны, называется кубом. Все грани куба —
равные квадраты.

Мы с вами, таким образом, познакомились с
прямоугольным параллелепипедом и его
элементами.

Осталось нам научиться строить модель
прямоугольного параллелепипеда, а поможет нам в
этом алгоритм построения параллелепипеда.

Алгоритм построения прямоугольного
параллелепипеда

1. Построить прямоугольник заданной длины (а) и
высоты (h).

2. Из каждой вершины отложить отрезок, равный
половине ширины (в) под углом 45 градусов.

3. Соединить концы отрезков, причем невидимые
грани — пунктирной линией.

Развертка прямоугольного
параллелепипеда.

Нетрудно из 6 бумажных прямоугольников склеить
закрытую коробочку, представляющую собой
поверхность прямоугольного параллелепипеда. А
что же получится, если наоборот разрезать
поверхность вдоль всех ребер? Она снова
распадется на 6 прямоугольников. Но мы произведем
разрез осторожнее, не по всем ребрам. Сначала мы
разрежем поверхность прямоугольного
параллелепипеда по трем ребрам, принадлежащим
верхнему основанию. Тогда верхнее основание
можно будет приоткрыть, как крышку. После этого
мы разрежем поверхность по четырем параллельным
ребрам, которые являются высотами. Теперь
оставшуюся поверхность легко раскрыть и затем
превратить в плоский кусок бумаги. Мы как бы
развернули поверхность прямоугольного
параллелепипеда. Если теперь обратно произвести
все сгибы, а затем проклеить ребра, по которым
производились разрезы, то из фигуры мы снова
получим поверхность прямоугольного
параллелепипеда. Фигура, изображенная на
рисунке, называется разверткой прямоугольного
параллелепипеда.

Y. Практическая работа

• Используя алгоритм построения прямоугольного
  параллелепипеда, построить прямоугольный
  параллелепипед заданных измерений. Длина — 4 см,
  высота — 5 см, ширина — 3 см. Обозначьте красным
  карандашом вершины прямоугольного
  параллелепипеда. Выпишите переднюю грань.
• На каждой парте модель прямоугольного
  параллелепипеда и инструкция по изучению
  площади поверхности прямоугольного
  параллелепипеда.

ИНСТРУКЦИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ ПЛОЩАДИ
ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

1. Измерь длину, ширину, высоту модели и запиши
их.

2. Вычисли площадь каждой грани модели.

3. Сделайте вывод о площадях противоположных
граней и запишите его.

4. Вычислите площадь всей поверхности вашего
прямоугольного параллелепипеда.

Сделайте вывод.

• В практике очень важно знать общую длину всех
  ребер прямоугольного параллелепипеда.

ИНСТРУКЦИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ СУММЫ ДЛИН
ВСЕХ РЕБЕР ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА

1. Покажите на модели равные ребра.

2. Сколько всего пар равных ребер?

3. Как определить сумму длин всех ребер?
Сделайте вывод. Запишите формулу.

YI. Самостоятельная работа

Результаты самостоятельной работы проверяются
на уроке.

Вычислите общую длину всех ребер
прямоугольного параллелепипеда, если его
измерения равны: а — 135, 25 см., в — 93,5 см., с — 178 см.

YII. Итог урока

Итог урока проводится по опорному конспекту,
который демонстрируется на протяжении всего
урока по этапам ознакомления с изучаемым
материалом.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД ИМЕЕТ:

6 граней

12 ребер

8 вершин

Грани: прямоугольники; квадраты.

S поверхности: 2(ав + ас + вс); 6аа

Сумма длин всех ребер: 4(а + в + с); 12а

Урок математики 5 класс

Прямоугольный параллелепипед Попова И.В., учитель математики МАОУ гимназия №1 г. Калининграда

Учиться можно только весело…

Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом.

Цель урока:

-познакомиться с прямоугольным параллелепипедом и кубом, их элементами;

-научиться чертить эти фигуры;

— находить длину ребёр, S поверхности и объём.

Прямоугольный параллелепипед в нашей жизни

Спичечный коробок, кирпич, шкаф, чемодан, здания, системный блок компьютера дают представление о прямоугольном параллелепипеде.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольники — это

грани прямоугольного параллелепипеда:

Противолежащие

грани равны !

Задняя

грань

Боковая правая

грань

Передняя

грань

Боковая левая

грань

Названия граней прямоугольного параллелепипеда:

Верхняя грань

Нижняя грань

Стороны граней– это рёбра прямоугольного параллелепипеда. Измерения прямоугольного параллелепипеда – это длина, ширина и высота :

B

A

D

C

К

F

H

М

Измерения прямоугольного параллелепипеда

а – длина

в – ширина

с – высота

с

а

в

Вершины граней называются вершинами параллелепипеда :

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны называется К У БОМ Все грани куба – равные квадраты

a

S 3

S 2

S 4

b

b

b

b

S 1

S = S 1 + S 2 + S 3 + S 4 + S 5 + S 6

a

Площадь поверхности

параллелепипеда:

S 5

c

c

c

c

S 6

S = 2 (ав + вс + ас)

a

a

Объём прямоугольного параллелепипеда

V= авс

• V= авс
• V= авс

а — длина

в — ширина

с — высота

Объём куба

V= а

3

а

а

а

Инструкция по изучению площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

1.Измерь длину, ширину и высоту модели и запиши их.

2. Вычисли площадь каждой грани (помни, что противоположные грани равны).

3.Вычисли площадь всей поверхности вашего прямоугольного параллелепипеда по формуле

S поверхности = 2(ав +ас +вс)

Инструкция по изучению суммы длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда

1.Покажите на модели равные рёбра.

2. Сколько равных рёбер имеет параллелепипед?

3.Как определить сумму длин всех рёбер? Сделайте вывод.

4.Вычисли длину всех рёбер по формуле

L=4 а + 4в + 4с

Домашнее задание: №811,814,817(а)

1. Прямоугольный параллелепипед

5 класс
Прямоугольный
параллелепипед

2. Прямоугольный параллелепипед в нашей жизни

Спичечный коробок, кирпич, шкаф,
чемодан, здания, системный блок
компьютера дают представление о
прямоугольном параллелепипеде.

3. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников

4. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 прямоугольников — граней

Задняя грань
Передняя грань

5. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней

верхняя грань
Нижняя грань

6. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из 6 граней

боковая грань
боковая грань

7.

Противолежащие
грани равны !

8. Стороны граней называются ребрами параллелепипеда

9. Параллелепипед имеет по 4 равных ребра

10.

ИЗМЕРЕНИЯ
A
D
B
К
H
длина
C
F
М
ширина
высота

11. Вершины граней называются вершинами параллелепипеда

12. Прямоугольный параллелепипед, у которого всё ребра равны называется К У Б Все грани куба – равные квадраты

Прямоугольный параллелепипед, у
которого всё ребра равны называется
КУБ
Все грани куба – равные квадраты

13. Инструкция по изучению площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

1.Измерь длину, ширину и высоту модели и
запиши их.
2. Вычисли площадь каждой грани (помни, что
противоположные грани равны).
3.Вычисли площадь всей поверхности вашего
прямоугольного параллелепипеда по
формуле
Sповерхности = 2(ав +ас +вс)

14. Инструкция по изучению суммы длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда

1.Покажите на модели равные рёбра.
2.По сколько равных рёбер имеет параллелепипед?
3.Как определить сумму длин всех рёбер?
Сделайте вывод.
4.Вычисли длину всех рёбер по формуле
L=4а + 4в + 4с

15.

Вычислить общую длину всех рёбер и площадь поверхности
прямоугольного параллелепипеда, если его измерения 10см,
5см, 4см
A
C
D
5
H
К
10
.
B
L =4 (10+5+4)
F
4
М
S = 2 (10 5 + 10 4 + 5 4)

16. В ы в о д ы : прямоугольный параллелепипед имеет:

Выводы:
прямоугольный параллелепипед
имеет:
6 граней 12 рёбер 8 вершин
Грани: прямоугольники, квадраты
Sповерхности = 2(ав +ас +вс)
L=4а + 4в + 4с

17.

Смотрите
алгоритм
выполнения

18. На рисунке показана последовательность изображения параллелепипеда. Начертите такой же параллелепипед

Как найти сумму длин всех рёбер параллелепипеда

У вас возникло затруднение в решении геометрической задачи, связанной с параллелепипедом. Принципы решения таких задач, основанные на свойствах параллелепипеда, изложены в простой и доступной форме. Понять – значит решить. Подобные задачи больше не будут вызывать у вас затруднений.

Инструкция

Для удобства введем обозначения:А и В стороны основания параллелепипеда; С – его боковая грань.

Таким образом, в основании параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами А и В. Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого равны и параллельны. Из этого определения следует, что против стороны А лежит равная ей сторона А. Поскольку противолежащие грани параллелепипеда равны (вытекает из определения), то верхняя его грань тоже имеет 2 стороны равные А. Таким образом, сумма всех четырех этих сторон равна 4А.

То же можно сказать и о стороне В. Противоположная ей сторона в основании параллелепипеда равна В. Верхняя (противолежащая) грань параллелепипеда тоже имеет 2 стороны, равные В. Сумма всех четырех этих сторон равна 4В.

Боковые грани параллелепипеда тоже являются параллелограммами (вытекает из свойств параллелепипеда). Ребро С одновременно является стороной двух соседних граней параллелепипеда. Поскольку противоположные грани параллелепипеда попарно равны, то все его боковые ребра равны между собой и равны С. Сумма боковых ребер — 4С.

Таким образом, сумма всех ребер параллелепипеда: 4А+4В+4С или 4(А+В+С)Частный случай прямого параллелепипеда – куб. Сумма всех его ребер равна 12А.
Таким образом, решение задачи относительно пространственного тела всегда можно свести к решению задач с плоскими фигурами, на которое это тело разбивается.

Полезный совет

Вычислить сумму всех ребер параллелепипеда – задача несложная. Нужно просто хорошо усвоить, что представляет собой данное геометрическое тело, и знать его свойства. Решение задачи вытекает из самого определения параллелепипеда.

Параллелепипед – это призма, основанием которой является параллелограмм.

Параллелепипед имеет 6 граней, и все они являются параллелограммами.

Противоположные грани равны и параллельны. Это важно.

Источники:

• сумма длин ребер прямоугольного параллелепипеда

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?